Sei eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer Triangulation .
Definition. Eine Fläche heißt normal, wenn das folgende gilt:
Seien die Scheibentypen in allen Tetraedern, und die entsprechende Variablen. Betrachten wir ein Dreieck , das zwei Tetraeder , der Triangulation trennt. Wählen wir zwei Kanten von .
Dann schreiben wir die Gleichung
Satz 2.1. Es existiert eine natürliche Bijektion zwischen normalenFlächen und zulässigen Lösungen.
Genau wie in der Normalkurventheorie, haben die Lösungen des normalen Gleichungsystems eine endliche Basis. Fundamentale Flächen, die zulässigen Basislösungen entsprechen, bilden eine geometrische Basis für alle normalen Flächen. Die Umschaltung besteht darin, daß wir zwei Flächen entlang alle Doppelkurven aufschneiden und dann zusammenkleben, so daß die neue Fläche normal wird. Es folgt, daß man jede normale Fläche aus fundamentalen Flächen durch aufeinanderfolgende Umschaltungen bekommen kann.
2.2. Anwendungen
ALLGEMEINES SCHEMA F¨UR LS
Schritt 1. Wir ersetzen das gegebene Problem durch ein Problem, das
Flächen in Mannigfaltigkeiten betrifft. Eine Standardvariante: ob eine Fläche enthält,
die eine spezielle Eingeschaft hat. Solche Flächen werden interessant
genannt.
Schritt 2. Wir beweisen, daß wenn eine interessante Fläche
enthält, dann man eine interessante Fläche unter normalen Flächen finden kann.
Schritt 3. Wir zeigen, daß eine interessante Fläche unter fundamentalen
Flächen gefunden werden kann.
Schritt 4. Man muß auch einen Algorithmus konstruieren, der entscheidet,
ob eine gegebene Fläche die Eigenschaft besitzt.
Wir beschreiben jetzt ein Beispiel, wie das Schema angewandt werden kann.
Satz 2.2. Es exitiert ein Algorithmus zur Erkennung des trivialen Knoten.
Beweis. Schritt 1. Sei einen Knoten in . Bezeichnen wir mit
seinen Außenraum. In anderen Worten,
Int ,
wo eine offene reguläre Umgebung von ist. Der Vollring hat einen
Meridian and einen Längskreis, der Null in der Homologiegruppe bestimmt.
Kleben wir zu eine Platte (einen Henkel von Index 2)
entlang des Längskreises.
Die bekommene Mannifaltigkeit wird mit bezeichnet. Sei eine Triangulation
von , so daß eine Strecke
als eine Kante von
dient. Wir sagen, daß eine geschlossene Fläche interessant ist, wenn
zur 2-Sphäre homöomorph ist und mit genau einen gemeinsamen Punkt hat.
Behauptung: ist trivial dann und nur dann, wenn eine interessante Fläche
enthält.
Damit ist das Trivialitätsproblem für Knoten zu einem Standardproblem über Flächen reduziert.
Schritt 2. Sei eine interessante Sphäre in . Es ist nicht schwierig,
so deformieren, daß nachher alle Eigenschaften einer normalen Fläche besitzt, außer
einem: der Schnitt von mit Dreiecken kann kleine Kreisen enthalten.
Sei ein solchen Kreis.
Dann schneiden wir längs dieses Kreises auf und füllen die
entstandene Löcher mit zwei Kreisscheiben . Die Prozedur gibt uns zwei Sphären, unter denen genau
eine interessant ist. Man muß bemerken, daß die neue interessante Sphäre einfacher
ist. (Wir messen die Kompliziertheit der Sphäre mit dem Kantengrad, d.h. mit
der Anzahl der Punkte in
dem Durchschnitt der Sphäre mit allen Kanten). Dieses
Verfahren fortsetzend, bekommen
wir schließlich eine normale interessante Sphäre.
Schritt 3. Nehmen wir an, daß die normale Sphäre nicht fundamental ist.
Dann kann man in der Form darstellen. Wir können annehmen,
daß diese Darstellung die sparsamste ist, d. h. besteht aus der minimalen
möglichen
Zahl von Doppelkreisen . Dann gilt:
FALL 1. ist eine Sphäre. Dann sind wir zufrieden,
da diese Sphäre interessant und einfacher
ist.
FALL 2. ist ein Torus, ist eine nicht interessante Sphäre.
Die Doppelkurven aus sind auf nicht trivial, folglich parallel.
Dann teilen sie in Kreisringe, unter denen nur ein Kreisring den einzigen
Schnittpunkt
enthält. Der Rand besteht aus zwei Kreisen , die
zwei disjunkte Kreisscheiben auf der Sphäre beranden. Dann kann man
aus eine neue interessante Sphäre
zusammenstellen.
Sicherlich ist einfacher als .
Dieses Verfahren wird schließlich mit einer fundamentalen normalen Sphäre beendet.
Schritt 4 ist offensichtlich.
(Sonst kann man die Flächen längst einigen Doppelkreise umschalten und eine sparsamere
Darstellung bekommen).
Da die Euler Charakteristik additiv ist (d.h.
), es gibt die
einzige Möglichkeit
zu bekommen: sind eine
Sphäre und ein Torus. Nur eine von beiden Flächen (sei ) schneidet .
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2001-10-30