toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

7. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Eine Homotopie von Faserbundel mit Basis $B$ ist ein Bundel $\pi : E \to B \times [0,1]$ mit Basis $B \times [0,1]$. Zeige, dass für $t \in [0,1]$ die Einschränkung von $\pi$ zu $\pi_t:E_t \to B_t(=B)$, wobei $B_t=B\times \{t\}$ und $E_t=\pi^{-1}(B_t)$ sind, ein Faserbundel ist.

Aufgabe 2. Seien $E,B$ Mannigfaltigkeiten. Sei $\pi : E \to B \times [0,1]$ ein differenzierbares Faserbundel. Wir nehmen an, dass die Mannigfaltigkeit $B$ zusammenhängend ist. Sei $N$ die typische Faser, $N=\pi^{-1}(b,t), b\in B.$ Wir nehmen an, dass $N$ kompakt ist. Sei $H$ auf $B \times [0,1]$ das Vektorfeld ${{\partial} \over {\partial{t}}}$. Konstuiere auf $E$ ein Vektorfeld $X$ mit $(D\pi)_p(X_p)=H_{\pi(p)}, p \in E$.

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Zeige, dass für $p \in E_0$ eine Lösungskurve $\gamma_p:[0,1] \to E$ zu der Differentialgleichung zu $X$ mit $\gamma_p(0)=p$ und $\gamma_p(t)\in E_t, t\in [0,1]$ existiert.

Aufgabe 4. (Fortsetzung) Für $t \in [0,1]$ fest, sei $\phi_t: E_0 \to E_t$ die Abbildung $p\in E_0 \mapsto \gamma_p(t) \in E_t$. Zeige, dass $\phi_t$ ein Bundelisomorphismus vom Bundel $\pi_0$ nach $\pi_t$ ist.

Aufgabe 5. Sei $R$ der Raum aller Geraden in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ mit $\char93 L \cap S^2=1$. Sei $\pi : R \to S^2$ die Abbildung wobei $L \in R$ auf $\pi(L)\in S^2$ mit $\{\pi(L)\}=L \cap S^2$ abgebildet wird. Zeige, dass $\pi$ ein differenzierbares Faserbundel mit Basis $S^2$ und mit typischer Faser $S^1$ ist. Ist $R$ diffeomorph zu $S^2 \times S^1$?

Aufgabe 6. Sei $V$ der Raum aller Paaren $(L,q)$, die aus einer Gerade $L$ in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ und einem Punkt $q \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ mit $q \in L$, mit $\char93 L \cap S^2=1$ und mit $\vert\vert p-q\vert\vert=1$. Sei $\pi : V \to S^2$ die Abbildung wobei $(L,q) \in R$ auf $\pi(L,q)\in S^2$ mit $\{\pi(L,q)\}=L \cap S^2$ abgebildet wird. Zeige, dass $\pi$ ein differenzierbares Faserbundel mit Basis $S^2$ und mit typischer Faser $S^1$ ist. Ist $V$ diffeomorph zu $S^2 \times S^1$?

Aufgabe 7. Sind $R$ und $V$ diffeomorphe Räume? Zeige, dass die Vergissabbildung $(L,q)\in V \mapsto L\in R$ ein Faserbundel ist. Die typische Faser der Vergissabbildung ist ein diskreter topologischer Raum, und somit ist die Vergissabbildung eine Überlagerung.