toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

5. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Ein Wurf erster Ordnung einer differenzierbaren Abbildung von ${\fam\msbfam\tenmsb R}$ nach ${\fam\msbfam\tenmsb R}$ ist ein Tripel $(x,y,s)$, wobei $y \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ der Wert und $s \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die Ableitung an der Stelle $x \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ sind. Auf dem Raum aller Würfe $W$ sind $x,y,s$ Koordinatenfunktionen. Die Differentialform $\omega:=dy-sdx$ ist natürlich: die Kurve $\gamma_f:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to W$ zu einer Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}$, die durch $x(\gamma_f(t))=t, y(\gamma_f(t))=f(t)$ und $s(\gamma_f(t)=f'(t)$ definiert ist, ist tangent an der Distribution ${\rm Kern}(\omega)$. Zeige, dass $\omega \wedge d\omega$ eine Volumenform auf $W$ ist.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Eine $1$-Differentialform $\omega$ auf einer $3$-Mannigfaltigkeit $M$ heisst Kontaktform, wenn $\omega \wedge d\omega$ eine Volumenform auf $M$ ist. Trägt $S^3$, $P^3({\fam\msbfam\tenmsb R})$ oder $P^2({\fam\msbfam\tenmsb R}) \times S^1$ eine Kontaktform?

Aufgabe 3. (Satz von Gray) Sei $\omega_t, t\in {\fam\msbfam\tenmsb R},$ eine differenzierbare Schar von Kontaktformen auf einer kompakten $3$-Mannigfaltigkeit $M$. Zeige, dass eine Schar $\phi_t$ von Diffeomorphismen existiert, derart, dass $\phi_t^*\omega_t=\omega_0$ gilt.

Aufgabe 4. Zeige den Satz von Darboux: Kontaktformen auf $3$-Mannigfaltigkeiten sind lokal diffeomorph.