toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

4. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $U$ eine offene Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ und sei $\omega$ eine differenzierbare und geschlossene $1$-Differentialform auf $U$. Sei $\gamma:[0,1] \to U$ ein stetiger Weg. Für $n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ sei $\gamma_n:[0,1] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ der folgendermassen definierte stückweise lineare Weg: es gilt $\gamma_n(k/2^n)=\gamma(k/2^n), k=0,1, \cdots ,2^n,$ und auf $[{k \over {2^n}}, {{k+1} \over {2^n}}]$ ist $\gamma_n$ linear. Zeige die Existenz eines $N \in {\fam\msbfam\tenmsb N}$, derart dass für alle $n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ mit $n \geq N$ der Weg $\gamma_n$ in $U$ ist.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige, dass die Folge der Wegintegrale $n\in {\fam\msbfam\tenmsb N},n\geq N \mapsto \int_{\gamma_n} \omega \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ stationär ist. Definiere das Wegintegral $\int_{\gamma} \omega$ für Wege $\gamma$ in $U$, die stetig sind.

Aufgabe 3. Zeige, dass die Definition des Wegintegrals $\int_{\gamma} \omega$ sich nicht sinnvoll auf beliebige stetige Wege $\gamma$ und beliebige differenzierbare Differentialformen $\omega$ ausdehnen lässt.

Aufgabe 4. Definiere das Wegintegral $\int_{\gamma} \omega$ für Wege $\gamma$, die Lipschitz sind, und für stetig differenzierbare Formen $\omega$.

Aufgabe 5. Sei $\omega$ eine differenzierbare $2$-Differentialform auf ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$. Konstruiere eine $1$-Differentialform $\alpha$ mit $d\alpha=\omega$.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Kann man $\alpha$ mit kompaktem Träger konstruieren, wenn man voraussetzt, dass $\omega$ einen kompakten Träger hat?

Aufgabe 7. (Fortsetzung) Wir nehmen an, dass $\omega$ kompakten Träger hat und dass $\int_{{\fam\msbfam\tenmsb R}^2} \omega = 0$ gilt. Konstruiere $\alpha$ mit kompaktem Träger, derart dass $d\alpha=\omega$ gilt.