toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

3. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $S^2:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid \vert\vert p\vert\vert^2=x(p)^2+y(p)^2+z(p)^2=1 \}$ die $2$-Sphäre im Euklidischen $3$-Raum. Zu einer Funktion $f$ auf $S^2$ sei $f_{\rm rad}$ die radial konstante Funktion $f_{\rm rad}(p)= f({p \over {\vert\vert p\vert\vert}})$ auf $R^3 \setminus \{0\}$. Der Laplaceoperator $\Delta_{S^2}$ auf Funktionen $f:S^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ ist wie folgt definiert:

$$\Delta_{S^2}(f)(p):=\Delta_{R^3}(f_{\rm rad})(p),p\in S^2.$$

Zeige, dass $\Delta_{S^2}$ ein $O(3)$-invarianter linearer, stetiger Operator $\Delta_{S^2}:C^{k+2}(S^2) \to {\fam\msbfam\tenmsb C}^{k}(S^2), k\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ ist.

Aufgabe 2. Beschreibe alle linearen, stetigen, $O(3)$-invarianten Operatoren $A:C^{k+2}(S^2) \to {\fam\msbfam\tenmsb C}^{k}(S^2), k\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$, für die gilt ${\rm Tr''ager}(Af) \subset {\rm Tr''ager}(f)$.

Aufgabe 3. Seien $\phi_{\pm}:C \to S^2$ die Karten $\phi(u+iv)=(tu,tv,\pm 1-\pm 2t)\in S^2, t={4 \over {u^2+v^2+4}}$. Berechne die Abbildung $\phi_-^{-1}\circ \phi_+:C\setminus \{0\} \to {\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\}$. Welche Strukturen kann man auf der Mannigfaltigkeit $S^2$ mit dem Atlas $\{\phi_+,\phi_-\}$ beschreiben?

Aufgabe 4. Zeige, dass die Gleichung $\Delta_{S^2}f=g$ nicht für jede Funktion $g\in C^{k}(S^2),k\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ eine Lösung $f \in C^{k+2}(S^2)$ hat.

Aufgabe 5. Sei $g:S^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die Funktion $g(p)=z(p)^n, n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}$. Für welche $n \in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ hat die Gleichung $\Delta_{S^2}f=g$ eine Lösung? Berechne die Lösungen, so weit vorhanden.

Aufgabe 6. Zeige, dass für jede stetige Funktion $g$ auf $S^2$ genau ein $w\in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ existiert, derart dass die Gleichung $\Delta_{S^2}f=g-w$ eine Lösung $f\in C^2(S^2)$ hat.