toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

2. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $s\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, s>1.$ Löse für eine Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die partielle Differentialgleichung

$$\Delta(f)(x,y,z)={1 \over {1+(x^2+y^2+z^2)^s}}.$$

Aufgabe 2. Löse für eine Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die partielle Differentialgleichung

$$\Delta(f)(x,y)=\max\{0,1/4-(x\pm 1)^2-(y\pm 1)^2\}.$$

Aufgabe 3. Löse für eine Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^5 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die partielle Differentialgleichung

$$\Delta(f)(x,y,z,u,v)=\max\{0,1-x^2-y^2-z^2,1-x^2-y^2-u^2,1-x^2-y^2-v^2,$$

$$1-x^2-z^2-u^2,1-x^2-z^2-v^2,1-x^2-u^2-v^2,$$

$$1-y^2-z^2-u^2,1-y^2-z^2-v^2, 1-z^2-u^2-v^2\}$$

Aufgabe 4. Löse für $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ die partielle Differentialgleichung

$${{\partial} \over {\partial \bar{z}}}f(z)=\max\{0,1-\vert z\vert\}.$$

Aufgabe 5. Wie in Aufgabe $1$, aber $s=1$. Was passiert?

Aufgabe 6. Löse für eine Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die partielle Differentialgleichung

$$\Delta(f)(x,y,z)={\sin(x^2+y^2+z^2) \over {1+x^2+y^2+z^2}}.$$