Aufgabe 1. Eine Funktion oder ein Vektorfeld heisst -periodisch, wenn für und gilt: oder . Sei stetig und -anti-periodisch, , was heisst dass für gilt: . Zeige, dass die partielle Differentialgleichung eine -periodische einmal stetig differenzierbare Lösung hat. Hier ist der Laplaceoperator. Wie ist es möglich, dass für eine einmal stetig differenzierbare Funktion definiert ist?
Aufgabe 2. (Fortsetzung) Sei ein -periodisches differenzierbares Vektorfeld. Zeige, dass die partielle Differentialgleichung eine -periodische einmal stetig differenzierbare Lösung hat. Hier ist die Funktion .
Aufgabe 3. (Fortsetzung) Zeige, dass die Lösungen der Aufgabe und beliebig oft differenzierbar sind, wenn und beliebig oft differenzierbar sind.
Aufgabe 4. Seien
. Löse die Gleichung
, wobei
das
Diracsche Mass mit Träger ist.