toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

1. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Eine Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^n \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ oder ein Vektorfeld $X:{\fam\msbfam\tenmsb R}^n \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ heisst ${\fam\msbfam\tenmsb Z}^n$-periodisch, wenn für $p\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ und $q\in {\fam\msbfam\tenmsb Z}^n$ gilt: $f(p+q)=f(p)$ oder $X_{p+q}=X_p$. Sei $g:{\fam\msbfam\tenmsb R}^n \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ stetig und ${1 \over 2}q$-anti-periodisch, $q \in {\fam\msbfam\tenmsb Z}^n, q \not=0$, was heisst dass für $p\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ gilt: $g(p+q/2)=-g(p)$. Zeige, dass die partielle Differentialgleichung $\Delta f=g$ eine ${\fam\msbfam\tenmsb Z}^n$-periodische einmal stetig differenzierbare Lösung $f$ hat. Hier ist $\Delta$ der Laplaceoperator. Wie ist es möglich, dass $\Delta f$ für eine einmal stetig differenzierbare Funktion $f$ definiert ist?

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Sei $X:{\fam\msbfam\tenmsb R}^n \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ ein ${\fam\msbfam\tenmsb Z}^n$-periodisches differenzierbares Vektorfeld. Zeige, dass die partielle Differentialgleichung $\Delta f + Xf = g$ eine ${\fam\msbfam\tenmsb Z}^n$-periodische einmal stetig differenzierbare Lösung $f$ hat. Hier ist $Xf$ die Funktion $(Xf)(p):=(Df)_p(X_p)$.

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Zeige, dass die Lösungen der Aufgabe $1$ und $2$ beliebig oft differenzierbar sind, wenn $g$ und $X$ beliebig oft differenzierbar sind.

Aufgabe 4. Seien $p,q \in T, p\not=q$. Löse die Gleichung $\Delta f=\delta_p-\delta_q$, wobei $\delta_P, P \in T,$ das Diracsche Mass mit Träger $\{P\}$ ist.