toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

8. Aufgabenblatt

Aufgabe 0. Betrachte auf ${\fam\msbfam\tenmsb C}^*:={\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\}$ die Zweipunktfunktion ${\rm dist}_{\rm log}(u,v) :=\min \{ \vert U-V\vert \mid U,V \in {\fam\msbfam\tenmsb C}, \exp(U)=u,\exp(V)=v \}$. Zeige, dass ${\rm dist}_{\rm log}$ eine translationsinvariante Distanz auf der Gruppe ${\fam\msbfam\tenmsb C}^*$ ist. Zeige, dass der Raum $({\fam\msbfam\tenmsb C}^*,{\rm dist}_{\rm log})$ vollständig ist.

Aufgabe 1. Sei $B:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert 1-z\vert \leq 1/2 \}\subset {\fam\msbfam\tenmsb C}^*$. Zeige, dass ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren $\prod_{n\in{\fam\msbfam\tenmsb N}}a_n$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}^*$ genau dann in $({\fam\msbfam\tenmsb C}^*,{\rm dist}_{\rm log})$ konvergiert, wenn die Reihe $\sum_{n\in{\fam\msbfam\tenmsb N}}1-a_n$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ konvergiert.

Hinweis: Sei $B:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert 1-z\vert \leq 1/2 \}\subset {\fam\msbfam\tenmsb C}^*$. Sei $\mathop{\hbox{\rm log}}\nolimits _B:B \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ die Funktion $\mathop{\hbox{\rm log}}\nolimits _B(1-z):=\sum_{n=1}^{\infty} {{z^n} \over {n}}$. Für ein in $({\fam\msbfam\tenmsb C}^*,{\rm dist}_{\rm log})$ konvergentes Produkt $\prod_{n\in{\fam\msbfam\tenmsb N}}a_n$ existiert ein $N \in {\fam\msbfam\tenmsb N}$ derart dass für alle $M \in {\fam\msbfam\tenmsb N}, M \geq N,$ gilt: $\prod_{n=N}^Ma_n \in B$. Betrachte die ``Reihe'' $\mathop{\hbox{\rm log}}\nolimits _B(\prod_{n\in{\fam\msbfam\tenmsb N}}a_n)$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$.

Aufgabe 2. Zeige, dass das Produkt $z\prod_{n=1}^{\infty} (1-{{z^{2}} \over {n^2\pi^{2}}})$ auf ganz ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ eine holomorphe Funktion $s$ definiert. Zeige:

$$s(z+\pi)=s(z), z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}.$$

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Definiere die Funktion $c:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $ds=cdz$. Berechne $s(0),c(0)$.

Aufgabe 4. Für $n=2p+1, p \in {\fam\msbfam\tenmsb N},$ gilt die Identität

$$x^n-y^n=(x-y)\prod_{k=1}^{k=p}(x^2-2xy\cos({{2\pi k} \over {n}})+y^2).$$

Hinweis:

$$x^2-2xy\cos({{2\pi k} \over {p}})+y^2=(x-\exp({{2\pi i k} \over {n}})y) (x-\exp({{-2\pi i k} \over {n}})y).$$

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Substituiere $x=(1+zi/n)$ und $y=(1-zi/n)$ in der Formel von $4$ und leite her:

$${{1} \over {2i}} ((1+zi/n)^n-(1-zi/n)^n)= \prod_{k=1}^{k=p}(... ...n}})}\over {1-\cos({{2\pi k}\over {n}})}}{{z^2}\over {n^2}}).$$

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Bilde in der Formel von $5$ den Grenzübergang $p \to \infty$ (mit Begründungen) und erhalte

$$\sin(z)=z\prod_{n=1}^{\infty} (1-{{z^{2}} \over {n^2\pi^{2}}}).$$

Aufgabe 7. Leite aus

$$\sin(\pi z)=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} (1-{{z^{2}} \over {n^2}})$$

und aus

$$d\mathop{\hbox{\rm log}}\nolimits \circ\sin(\pi z)={{\pi\cos(\pi z)} \over {\sin(\pi z)}}dz$$

her:

$${{\pi\cos(\pi z)} \over {\sin(\pi z)}}= {1 \over z}+\sum_{k=1}^{\infty}({{1} \over {k+z}}- {{1} \over {k-z}})$$

Aufgabe 8. Für $z={1\over 4}$ ergibt sich:

$$\pi=4-\sum_{k=1}^{\infty}{{8} \over {16k^2-1}}.$$

Aufgabe 9. Zeige:

$${{\pi} \over {4}}=1-\sum_{k=1}^{\infty}{{2} \over {16k^2-1}}=1-{1 \over 3}+ {1 \over 5} -{ 1 \over 7}+ \cdots$$

Die Aufgaben $4-9$ stammen aus:

Introductio in Analysin Infinitorum,

Auctore Leonhardo Eulero,

Professore Regio Berolinensi, & Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae Socio.,

Tomus Primus,

Lausannae,

Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios.

MDCCXLVIII