next up previous
Nächste Seite: Über dieses Dokument ...

toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02



Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I
6. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ eine beschränkte offene Teilmenge. Sei $\vert\vert\,\vert\vert _{{\fam\msbfam\tenmsb R}^n}$ eine Norm auf ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ und sei $\vert\vert\,\vert\vert _{OpN}$ die duale Operatornorm auf dem Raum der Linearformen von ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$. Sei $C^1(U)$ der Vektorraum aller stetig differenzierbaren Funktionen $f:U \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ mit der Eigenschaft, dass

\begin{displaymath}
\vert\vert f\vert\vert _{C^1}:=\sup_{p \in U} \vert f(p)\vert + \sup_{p \in U} \vert\vert(Df)_p\vert\vert _{OpN}
\end{displaymath}

eine reelle Zahl ist. Zeige, dass $\vert\vert\,\vert\vert _{C^1}$ eine Norm auf $C^1(U)$ ist. Zeige, dass $C^1(U)$ mit der Norm $\vert\vert\,\vert\vert _{C^1}$ einen Banachraum bildet.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige, dass die Inklusion $i:C^1(U) \to C^0(U)$ kompakt ist. ($C^0(U)$ ist der Banachraum aller stetigen Funktionen $f:U \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ mit der Eigenschaft, dass die Norm $\vert\vert f\vert\vert _{C^0}:=\sup_{p \in U} \vert f\vert$ eine reelle Zahl ist. Die stetige und lineare Abbildung $i:C^1(U) \to C^0(U)$ heisst kompakt, wenn in $C^0(U)$ das Bild $i(A)$ einer beschränkten Teilmenge $A$ von $C^1(U)$ in $C^0(U)$ einen kompakten Abschluss hat.)

Aufgabe 3. Seien $U,U'$ beschränkte offene Teilmengen in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$, derart dass der Abschluss $\bar{U}$ von $U$ in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ eine Teilmenge von $U'$ ist. Sei $A \subset C^0(U')$ eine beschränkte Menge von harmonischen Funktionen. Sei $B$ die Menge der Einschränkungen der Funktionen in $A$ auf $U$. Zeige, dass der Abschluss von $B$ in $C^2(U)$ kompakt ist.

Aufgabe 4. Sei $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb C}$ offen und sei $f:U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ holomorph, d.h., $f$ ist differenzierbar und für $p \in U$ ist das Differential $(Df)_P:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ ${\fam\msbfam\tenmsb C}$-linear. Sei $\omega=\Re(fdz)$ auf $U$ die $1$-Differentialform $\omega_p(v):=\Re(f(p)v), p \in U,v \in {\fam\msbfam\tenmsb C}$. Zeige $d\omega=0$.

Aufgabe 5. Für welche $z\in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ gilt: ${1 \over {1-z}}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n$?

Aufgabe 6. Auf ${\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{1\}$ ist die Funktion $f(z):={{\bar{z}} \over {1-z}}$ differenzierbar. Das Differential $df$ schreibt sich als Linearkombination

\begin{displaymath}
df=adz+bd\bar{z},
\end{displaymath}

wobei $a$ und $b$ Funktionen sind.

Berechne $d'f:=adz$ und $d''f=bd\bar{z}$. Berechne $d'\exp(\vert z\vert^2)$.

Aufgabe 7. Zeige, dass auf $U:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb C}^d \mid \vert z_i(p)\vert<1, i=1, \cdots ,d \}$ die Reihensumme

\begin{displaymath}
f(p):=\sum_{n \in {\fam\msbfam\tenmsb N}^d} \max\{n_i,i=1, \...
... ,d \} z_1(p)^{n_1}z_2(p)^{n_2}\cdot \cdots \cdot z_d(p)^{n_d}
\end{displaymath}

eine holomorphe Funktion $f$ definiert.

Aufgabe 8. (Fortsetzung) Berechne $f$ für $d=1,2,\dots,$ als rationale Funktion, d.h. als $f(p)={{P(z(p))} \over {Q(z(p))}}$ wobei $P$ und $Q$ Polynome sind.

Aufgabe 9. Sei für $z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}, \vert z\vert < 1,$ die Funktion $q(z)$ durch $q(z):=2+\sum_{n=1}^{\infty} z^{n^2}$ gegeben. Zeige, dass die Funktion $q(z)^2-{{15} \over {4}}$ sich für $z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}, \vert z\vert < 1,$ als Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ darstellen lässt. Zeige

\begin{displaymath}
4a_n=\char93 \{i,j\in {\fam\msbfam\tenmsb Z}\times {\fam\msbfam\tenmsb Z}\mid i^2+j^2=n\}.
\end{displaymath}

Für $n \in {\fam\msbfam\tenmsb N}, n>1,$ sei

\begin{displaymath}
g_{\pm}(n):=\char93 \{k\in {\fam\msbfam\tenmsb N}\mid 4k\pm1>0 {\rm\,\,und\,\,}4k\pm 1 \vert n\}.
\end{displaymath}

Es gilt für $n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}, n>0,$ der berühmte Satz von Adrien-Marie Le Gendre (geb. am 18. September 1752 in Paris, gest. am 10. Januar 1833 in Paris)

\begin{displaymath}
4a_n=\char93 \{(i,j)\in {\fam\msbfam\tenmsb Z}\times {\fam\msbfam\tenmsb Z}\mid i^2+j^2=n\}=4(g_+(n)-g_-(n)).
\end{displaymath}

Die folgende Frage hat über Jahrtausende die Mathematik geprägt: ``Welche ganzen Zahlen lassen sich als Summe von zwei ganzen Quadraten darstellen und wieviele solche Darstellungen gibt es?''




next up previous
Nächste Seite: Über dieses Dokument ...
WWW Administrator 2001-11-30