toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

1. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Seien $a,b,c:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ drei zweimal stetig differenzierbare Funktionen, deren Differentiale punktweise und paarweise linear unabhängig sind, und so dass für ein einziges $p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ Konstanten $\alpha_p,\beta_p,\gamma_p > 0$ mit $\alpha_p (Da)_p+\beta_p (Db)_p +\gamma_p (Dc)_p =0$ und $\alpha_p^2+\beta_p^2+\gamma_p^2=1$ existieren. Zeige, dass positive differenzierbare Funktionen $\alpha,\beta,\gamma:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ mit $\alpha(q) (Da)_q+\beta(q) (Db)_q +\gamma(q) (Dc)q =0$ und $\alpha(q)^2+\beta(q)^2+\gamma(q)^2=1, q \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2,$ existieren.

Aufgabe 2. (Fortsetzung.) Für $p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2, t \in R,$ wobei $t$ hinreichend klein vorausgesetzt wird, betrachten wir einen stetigen Polygonzug $H_t$, der aus $7$ differenzierbaren Abschnitten $A_{t},h_{1,t},h_{2,t},h_{3,t},h_{4,t},h_{5,t},h_{6,t}$ besteht.

Diese Abschnitte sind die folgendermassen definierten parametrisierten Kurven:

• $A_{t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$, wobei $A_{t}(0)=p, a(A_{t}(s))=a(p), b(A_{t}(s))=b(p)-s$;
• $h_{1,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$, wobei ${{d} \over {ds}}c(h_{1,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}b(h_{1,t}(s))\not= 0, h_{1,t}(0)=A_{t}(t), b(h_{1,t}(t))=b(p)$;
• $h_{2,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit ${{d} \over {ds}}a(h_{2,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}c(h_{2,t}(s))\not=0, h_{2,t}(0)=h_{1,t}(t), c(h_{2,t}(t))=c(p)$;
• $h_{3,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit ${{d} \over {ds}}b(h_{3,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}c(h_{3,t}(s))\not=0, h_{3,t}(0)=h_{2,t}(t), a(h_{3,t}(t))=b(p)$;
• $h_{4,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit ${{d} \over {ds}}c(h_{4,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}b(h_{1,t}(s))\not= 0, h_{4,t}(0)=h_{3,t}(t), b(h_{4,t}(t))=b(p)$;
• $h_{5,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit ${{d} \over {ds}}a(h_{5,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}c(h_{5,t}(s))\not= 0, h_{5,t}(0)=h_{4,t}(t), c(h_{5,t}(t))=c(p)$;
• $h_{6,t}:[0,t] \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit ${{d} \over {ds}}b(h_{6,t}(s))=0$ und ${{d} \over {ds}}a(h_{6,t}(s))\not= 0, h_{6,t}(0)=h_{5,t}(t), a(h_{6,t}(t))=a(p)$.

Zeige, dass für jedes $p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ der Grenzwert

$$g(a,b,c:p):=\lim_{t \to 0} {{b(p)-b(A_{t}(t))} \over {b(p)-b(h_{6,t}(t))}}$$

existiert.

Aufgabe 3. (Fortsetzung.) Seien $a',b',c':{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ differenzierbare Funktionen ohne kritische Punkte, deren Niveaus lokal mit den Niveaus der Funktionen $a,b,c$ übereinstimmen. Zeige: $g(a',b',c':p)=g(a,b,c:p)$.

Aufgabe 4. (Fortsetzung.) Berechne $g(a,b,c;-):{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ für $a=x,b=y,c=x-y+{{\sin(x+y)}\over {4}}$.

Eine Aufteilung der Ebene ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ in Linienscharen, die sich lokal als Niveaulinien von $3$ Funktionen ohne kritische Punkte mit paarweise linear unabhängigen Differentialen beschreiben lassen, heisst $2$-dimensionales $3$-Gewebe. Ein $2$-dimensionales $3$-Gewebe heisst infinitesimal schliessend, wenn die Funktion $g$ identisch $1$ ist. Für ein weiteres Studium der Gewebe ist das Gründerbuch dieser Theorie sehr zu empfehlen:

Wilhelm Blaschke und G. Bol, Geometrie der Gewebe: Topologische Fragen der Differentialgeometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 49, Berlin : Springer, 1938.

Aufgabe 5. Sei $K:=\{(x,y)\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid ax^3+by^3+cx^2y+dxy^2+ex+fy+g=0\}$ eine ebene kubische Kurve. Wir setzen voraus, dass die Kurve $K$ glatt ist und aus zwei Komponenten besteht. Zum Beispiel $K:=\{x(x^2+y^2-100)-1=0\}$. Es existiert eine offene Teilmenge $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ derart, dass für $p \in U$ durch $p$ genau $4$ Tangentiallinien an $K$ existieren. Zeige, dass auf $U$ ein $3$-Gewebe existiert, dass punktweise tangent an $3$ Tangentiallinien an $K$ ist. Berechne die $g$-Funktion für dieses Gewebe. Ist das Gewebe (infinitesimal) schliessend?